30 de julio de 2016

Pueden ser más de veinte preguntas



Schoolmaster: 'Suppose x is the number of sheep in the problem'.
Pupil: 'But, Sir, suppose x is not the number of sheep'.

[I asked Prof. Wittgenstein was this not a profound philosophical joke, and he said it was]

(Maestro de escuela: “Supongamos que x es el número de ovejas en el problema”.
Alumno: “Pero, señor, supongamos que x no es el número de ovejas”.

[Pregunté a Ludwig Wittegenstein si esta era una profunda broma filosófica y me dijo que sí])

En A Mathematician's Miscellany, de J. E. Littlewood
 
Edipo y la Esfinge

La propuesta del juego Las 20 preguntas es sencilla: «Piensa algo y tendré que acertarlo en veinte preguntas (o menos) a las que solo se puede contestar “sí” o “no”». Una de las dificultades estriba en la delimitación de las cosas que se pueden pensar: siempre será más difícil hallar algo pensado dentro de “todo lo imaginable” que si lo restringimos a “grandes obras de la literatura”. Esa delimitación depende del conocimiento de los jugadores, obviamente; es preferible que haya un conocimiento común sobre el tema establecido; motivo por el cual este juego es un buen ejercicio para motivar a aprender. Aún así, otra dificultad notable está en que no solemos jugar con conceptos formales (como los matemáticos: polígonos, funciones...), sino con categorías naturales.

Algunos recordaréis el inolvidable papel de Manquiña en 'Airbag': «El conceto es el conceto». Pero ¿qué son los conceptos? La RAE define concepto como “idea que concibe o forma el entendimiento”. Hay muchas definiciones, pero usemos una de andar por casa algo más precisa: “Un concepto es algo que reúne unos atributos comunes de varias cosas bajo un criterio y que cuenta con un signo aceptado en una cultura determinada”. Así, el concepto agrupa objetos, situaciones... equivalentes en una clase o categoría de cosas, es expresado en una cultura mediante un símbolo determinado y los separa de otros objetos, situaciones... que no cumplen atributos de criterio comunes a aquellos. Por ejemplo: “pentágono regular” es el signo referido al concepto {espacio cerrado del plano delimitado por cinco lados iguales y unidos en ángulos iguales}. ¿Para qué sirven los conceptos? En esencia, para reducir el número de estímulos a dimensiones manejables, favoreciendo automatismos como cuando vemos un paso de cebra y sabemos que podremos cruzar con cuidado, por ejemplo. No es solo generalización; los conceptos están sujetos a:

  • Integración en otro concepto que los incluye. Ejemplo: “merluza” y “lenguado” dentro de “pescado”. 
  • Diferenciación en otros conceptos a los que incluye. Ejemplo: “familia” reúne “padres”, “tíos” y “abuelos”.
Basándoos en esto, os podéis imaginar un esquema en forma de árbol, y así podréis intuir la relación de los conceptos con el juego de Las 20 preguntas. Porque, efectivamente, los conceptos también tienen la función de ampliar la propia taxonomía conceptual; es decir, las relaciones ordenadas y jerarquizadas entre conceptos, y, de alguna forma, incluso empleando la amplísima definición de la RAE, así también contribuyen a mejorar “el entendimiento”. Por consiguiente, es un buen estímulo lúdico para desear aprender más.
Quienes tenéis más frescas las matemáticas básicas tal vez os habéis fijado en la relación que tienen los conceptos con los conjuntos. Podemos determinar un conjunto por extensión aludiendo uno por uno a todos y cada uno de los elementos que le pertenecen. Pero también podemos determinar un conjunto por comprensión si encontramos una característica común a todos sus elementos. Esa característica es un concepto. Por lo cual, los conceptos permiten la determinación de un conjunto por comprensión. Conviene aclarar esto: un concepto no es un conjunto, sino que lo determina; el concepto es la representación mental (pensamiento), el conjunto expresa el concepto (lenguaje) —más allá del eterno debate entre pensamiento y lenguaje—. Como veis, la formación de los conjuntos matemáticos (con su lenguaje específico) es un proceso estrechamente relacionado con el desarrollo conceptual. Por lo tanto, el juego de Las 20 preguntas puede contribuir al desarrollo de la capacidad lógico–matemática en la medida en que estimula el aprendizaje de nociones sobre conjuntos matemáticos y ayuda a asentar cualesquiera conceptos.

Ahora bien, los procesos de adquisición de un concepto llevan aparejados la formación de una representación mental de ese concepto; cuando contrastas los elementos de ese concepto con la manera en que los percibes, necesitas nuevos procesos mentales. Por ejemplo: para el concepto “pez” no bastaría con distinguir entre los que viven en el río y los que viven en el mar, sino que sería más obvio ir reuniendo las características relevantes de todos los ejemplares del concepto “pez” mediante un proceso de abstracción: “Los peces son animales–acuáticos–de sangre roja–...”. Estas características son necesarias tomadas una a una para representar al concepto “pez”, pero no suficientes si no se toman todas en conjunto; pensad, por ejemplo, que “ballena” es animal–acuático–de sangre roja (pero no es “pez”). Conviene añadir que hasta ahora hemos resaltado características perceptivas, pero no otras como las funcionales, necesarias en objetos artificiales, por ejemplo. Con todo ello trato de mostrar la dificultad que tienen los conceptos para ser precisos. Así, en virtud de lo visto hasta ahora, os pido que reflexionéis sobre lo siguiente:
a) Todos los elementos de un concepto serían igual de representativos de ese concepto, ya que todos reúnen el mismo conjunto de características.

b) La existencia de un concepto vendría garantizada por un conjunto no contradictorio de características. Y así, podríamos decir que la existencia de los conceptos es arbitraria.

Juguemos:

1. ¿Es un ser vivo? No.
2. ¿Es natural? No.
3. ¿Es algo abstracto? No.
4. ¿Es imaginario? No.
5. ¿Es real? Sí.
6. ¿Está relacionado con el arte? No.
7. ¿Es ornamental? No.
8. ¿Tiene motor? No.
9. ¿Es una máquina? No, bueno, sí.
10. ¿Es una herramienta? No. No exactamente.
11. ¿Se utiliza para construir edificios? No.
12. ¿Es una máquina electrónica? No.
13. ¿Sirve para tareas domésticas? Sí.
14. ¿Es un objeto para limpiar? No.
15. ¿Se utiliza para la higiene personal? No.
16. ¿Se utiliza para cocinar? No.
17. ¿Y para comer? Sí.
18. ¿Forma parte de la vajilla? No.
19. ¿Es un cubierto? Sí.
20. ¿Es un tenedor? No.
Son palillos chinos, no has acertado.

Pero ¿pertenecen a la categoría de “cubiertos” los “palillos chinos”? Universalmente, sí. Pero a esto me refería cuando en la entradilla formulé este consejo: “es preferible que haya un conocimiento común sobre el tema establecido [para este juego]”. Esta apreciación no es baladí, porque, por expresarlo de una forma gráfica, la realidad no se capta tan linealmente como un simple árbol taxonómico perfectamente definido. Las cosas han cambiado desde Linneo: «Los nombres [de los taxones] cambian cuando el descubrimiento de nueva información obliga a modificar las circunscripciones, pero también, y sin necesariamente nueva información que justifique un cambio de nombre, los nombres cambian por diferencias de criterio entre los especialistas» [Fuente].

Por ejemplo: comparad la clasificación intuitiva que tengáis de los seres vivos con esta:

Fuente
 
Muchas veces las cosas no son tan claras. Otro ejemplo: durante años el panda gigante fue emparentado con los lémures hasta que, recientemente, a partir del análisis deADN, se incluyó en la familias de los osos.

Abordemos aquello sobre lo que pedí que reflexionarais (las suposiciones a) y b)). Para ello nos vamos a basar en unas nociones de los estudios iniciales de Eleanor Rosch. A partir de una investigación sobre el conocimiento de los colores (aquí tenéis un artículo reciente que de alguna forma abunda sobre la idea que describo) en diversas culturas, Rosch se plantea como hipótesis que los conceptos no son arbitrarios, sino que se explican por las relaciones existentes en el medio social y natural de los individuos.


Y acaba planteando la siguiente tesis: 

  • Los conceptos no son igualmente concretos para la persona que los adquiere. 
  • Los conceptos más básicos en la vida cotidiana no coinciden con los conceptos más básicos desde un punto de vista científico y lógico.


A su vez, en virtud de esto, la autora señala la importancia de la taxonomía de los conceptos, que para diferenciarlo de la teoría clásica de los conceptos formales, son denominadas como categorías naturales de Rosch y lo podemos expresar gráficamente así:


Estudios más recientes en psicología cognitiva vienen a resolver algunas cuestiones como es la separación entre categorías populares y categorías expertas para explicitar el uso pragmático que se hace en cada caso de las categorías (o conceptos, si queréis seguir llamándolos así). Pero, en cualquier caso, se sigue manteniendo el principio de ordenación, que matemáticamente podría expresarse por el operador de inclusión (y en lógica como el operador de implicación) y, yendo un poco más allá, simplemente, como grafos de árbol.

Conviene llamar la atención sobre un aspecto más acerca del juego de Las 20 preguntas. Aparentemente y tomemos la teoría clásica de conceptos formales o la de las categorías naturales (o de los prototipos), la estructura en árbol está clara. E insisto en esto porque, según la teoría de grafos, un grafo de árbol define un tipo de relaciones entre conjuntos/conceptos y no otra. Pero haceos a la idea de lo siguiente: “La delimitación y clasificación de las especies hoy se considera entre el 1 y el 15 % realizada satisfactoriamente, y si bien las hipótesis de especies "nunca están terminadas, ya que aunque se llegue a un consenso sobre sus aspectos arbitrarios, los descubrimientos de nuevos caracteres y poblaciones obligan a retestearlas y verificar cómo evolucionan los linajes. Hoy en día la meta está especialmente lejana en relación a la demanda debido a lo que los científicos llaman la crisis taxonómica , o también el impedimento a la taxonomía". [Fuente]

Por eso nos podemos encontrar con grafos tan complejos como este:

Fuente


En fin, ¿qué nos dice todo esto? Que si bien, como dijimos, uno de los requisitos para jugar a Las 20 preguntas era tener claras las ideas comunes y, si queréis, las ideas previas entre los jugadores, es conveniente que los jugadores articulen las preguntas en torno a características de aspectos básicos, cotidianos o conocidos; es decir, que se documente, que investigue, que pregunte. Vale, ahora centrémonos en el valor de aprender (que rara vez debería separarse del aspecto lúdico): es más fácil aprender organizando las ideas, estableciendo relaciones de orden y de equivalencia. Y, aunque solo fuera por eso, ya sería útil un aprendizaje elemental de la teoría de conjuntos y de sus relaciones. Porque, por compleja que sea la realidad, esta estructuración nos facilita la labor de aprehenderla, de conocerla mejor.


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Un par de curiosidades:

Os recomiendo echar un vistazo al proyecto 'Tree of Life', que aunque se dejó de actualizar en 2011, se trata de un esqueleto taxonómico confecionado por la comunidad científica y al que la comunidad de usuarios pudo ir agregando contenido multimedia por taxón.

A Jorge Luis Borges le parecía curioso el afán clasificatorio. Él mismo ideó (ficciones, ya sabéis, el universo, etcétera) una ficción literaria sobre la arbitrariedad de las taxonomías: El emporio celestial de conocimientos benévolos.








1 de julio de 2016

¿Es mi coche un antisistema?

Unos mil cuatrocientos kilos en vacío, algo más de cien caballos a partir de dos mil quinientas vueltas y más de trescientos cincuenta mil kilómetros a sus espaldas. Un compacto de más de diez años que no corta el mar ni vuela. Un coche que, “mientras me lleve”, va bien.
 

La Carriole du Père Junie (Henri Rousseau)

 
Habrá quien me llame antisistema (a mí o incluso al coche) porque no contribuyo a renovar el parque móvil (o porque no entro en la rueda de consumo: coche nuevo + financiación pertinente). No van por ahí los tiros de lo que les traigo. Es mucho más mensurable y espero que las musas me ayuden a construir igualmente una reflexión interesante a partir de la metáfora que entraña lo que les cuento. Vamos allá.

Es encomiable el esfuerzo inversor en infraestructuras viales llevado a cabo en España en los años que este país lleva de democracia. Desafortunadamente, esta piel de toro está plegada allá donde vayas y el coste medio del tramo de autovía es de los más altos de Europa. Hecho que condiciona no solo la capacidad inversora en carreteras, sino el trazado de estas. Por eso es relativamente frecuente encontrarse con algunos repechos que “pa qué las prisas”. Ambas circunstancias, financiera y orográfica, debieron de ser factores tenidos en cuenta cuando los ingenieros decidieron cómo serían algunos tramos. Esos factores, sí, y probablemente algún componente pseudopolítico (ya saben: plazos de inauguración, fotos cortando la cinta y demás premuras marcadas desde los asesores de imagen de los partidos políticos).
 

El caso es que mi coche, al que, si quieren, podemos llamar Braulio a partir de ahora, presenta algunas dificultades en determinados adelantamientos. No lo he medido, pero suele ser en carreteras de varios carriles por sentido; en las de un solo carril por sentido ni me planteo adelantar si es cuesta arriba. Braulio se rila en el tramo de la M45 a la altura de San Fernando de Henares en sentido Sur, por ejemplo. Estoy hablando de memoria, pero creo que son cuatro carriles antes de reducirse a tres en lo alto de la cuesta. Juro que lo he intentado, pero Braulio ya no es el que era: sufre una pérdida de potencia a mitad de la cuesta. He de reducir a cuarta y tratar de mantener unos honrosos noventa kilómetros por hora hasta por fin recuperar los ciento veinte (ya en en quinta) en el llano. Eso sí, tras pasar la puesta a punto anual (el turbo aún no falla, el volumétrico tampoco, pero, tras resolver el conflicto del filtro antipartículas con el corte de combustible...), Braulio parece recobrar su lozanía. Al menos por un par de meses.
 

Como Braulio, hay miles de coches circulando como pueden. Es un país complejo si no eres un coche nuevo o estás casi como nuevo. Pero el país es el que es. Y entonces me pregunto si no se pueden ingeniar mejores trazados para todos. Porque al fin y al cabo parece que si “desde arriba” no se piensa para todos, es cuestión de echarle un buen par cada uno como pueda. Pero no olviden que todos pagamos impuestos de manera solidaria. ¡Ah!, ¿que algunos no? Bueno, será por eso que nos animan a renovar el coche más a menudo, y siempre para mejor, como cualquiera de los suyos.

Braulio, hazles caso, no seas antisistema, que España es asín.